اصل انتخاب

اصل انتخاب
استاد راهنما
دکتر سعید کیوانفر
گردآورنده
صفورا ظفرجعفرزاده
تابستان 85
فهرست
مقدمه
-1 اصل انتخاب چه می گویدو چه نتایج محیر الشهودی به دنبال دارد؟
1-1 اصل انتخاب و معرفی آن به ریاضیات
1-2 اصل انتخاب و نتایج ناخوشایند آن
1-3 پارادوکس باناخ-تارسکی یا آنچه ریاضیات و شعبده در اشتراک با هم دارند
-2 استفاده از اصل انتخاب
2-1 هم ارزهای اصل انتخاب
2-2 کاربرد اصل انتخاب در ریاضیات
2-3 قضیه ایده آل اول
2-4 اصل انتخاب شمارا
-3 سازگاری و استقلال اصل انتخاب و مدل های جایگشتی
3-1 سازگاری و استقلال اصل انتخاب
3-2 مدل های جایگشتی
-4 ریاضیات بدون انتخاب
4-1 خواص خط حقیقی
4-2 جبر بدون انتخاب
4-3 قضایای مستقل از اصل انتخاب
-5 معرفی مقالات جالبی در زمینه اصل انتخاب
-6 واژه نامه ریاضی
-7 فهرست اشخاص
-8 منابع
"در ابتدا روشن به نظر م یرسد ، ولی هر چه عمی قتر درباره آن فکر می کنم ، نتیجه های
عجیب و غریب تری از آن به دست م یآورم و در آخر از فهم این مطلب صرف نظر م یکنم
که این مطلب چه معنا دارد . "
برتراند راسل
مقدمه
اصل انتخاب در اوایل قرن بیستم به ریاضیات معرفی شد البته ما شاهد کاربردهای
ناآگاهانه این اصل در کار ریاضیدانان قبل آن نیز هستیم . به جرأت می توان گفت ، این
اصل بعد از اصل توازی جنجال برانگیزترین گزاره ای است که ریاضیات تاکنون به خود
دیده است . گفته می شود اثبات ب ینقص قضیه زرملو به کمک اصل انتخاب همانند جرق های
در انبار باروت بود .
مهمترین سؤالاتی که در مورد این اصل مطرح بود مسئلۀ استقلال و سازگاری آن
پاسخ مثبت داد و بالأخره ZF بود . گودل در 1938 به سازگاری این اصل با سایر اصول
استقلال آن در 1963 توسط کوهن به اثبات رسید . به این ترتیب می توانیم در وضعیتی
بین انتخاب تا رد آن تغییر کنیم .
در این پروژه به شفاف سازی صورت اصل انتخاب ، ارائه هم ارزهای آن در
شاخه های مختلف ریاضیات ، بیان نتایج حاصل از پذیرش این اصل و بررسی ریاضیات در
غیاب این اصل اهتمام ورزیده شده است .
صحبت های آقای دکتر پرویزی در کلاس مبانی ریاضی ، آقای دکتر کیوانفر در
کلاس جبر ( 1) و آقای دکتر نیکنام در کلاس آنالیز محرک من برای مطالعۀ این اصل بود
که لازم می دانم در این جا از ایشان تشکر کنم .
در جریان انتخاب موضوع پروژه ، موضوعات فراوانی را مورد بررسی قرار دادم که به
عقیده من هر یک می تواند تبدیل به پروژ های جذاب توسط دانشجویی با ذوق شود این
موضوعات عبارتند از : ریاضیات ساختنی و منطق پاراسازگار که آشنایی با این دو موضوع را
مدیون کلا سهای فلسفۀ آقای دکتر مصلحیان هستم ، تصمیم پذیری و بالتبع ماشی نهای
تورینگ ، محاسبه پذیری و نظریۀ زبان ها و ماشین که مباحثی هستند در علوم کامپیوتر و
که در سمینار Amenable groups ، توسط آقای رسول رمضانیان به من پیشنهاد شد
" قدم زدن تصادفی " آقای کسری علیشاهی به آن اشاره شد ، کتاب [ 3 ] که در نوع
خود بسیار آموزنده است ؛ دید خواننده خود را باز م یکند و بر عمق واژگان ریاضی او
و ارتباط این دو . Math Dance می افزاید و
در پایان مایلم از استاد شایسته ام آقای دکتر سعید کیوانفر به دلیل اعتماد و صبر
فراوانشان تشکر کنم نقطه قوتی که در تربیت دانشجو حیاتی است . همچنین از دوستان
عزیزم خانم هانیه میر ابراهیمی و خانم مرضیه فروغ به خاطر همفکریشان و خانم تکتم
آقاسی زاده به خاطر همکاریشان متشکرم .

1-1 اصل انتخاب و معرفی آن به ریاضیات
داستان با کار کانتورروی نظریه توابع شروع شد . او متوجه شد هیچ تناظر
یک به یکی بین و موجود نیست . تلاش فراوان او همراه با تشویق ددکیند و
انتقادهای کرونکر باعث شکل یافتن نظریه مجموعه ها شد . در حدود 1900 ، او با دو
مسئله برخورد کرد . اولی پارادوکسی بود که منجر به عدم وجود مجموعه تمام مجموع هها
می شد . دومی مشهور به مسئلۀ پیوستار ، به این مسئله م یپردازد که عدد اصلی دیگری
بین اعداد متناظر با و موجود نیست . در واقع ، هنگامی که کانتور وجود رابطه
ترتیب کلی را بین اعداد اصلی واضح می شمرد در استدلال خود آنچه بعد ها اصل انتخاب
نام گرفت را بدیهی فرض کرده بود .
به نظر می رسد اولین اشاره صریح به این اصل در مقال های از پئانو در 1890 در
ارتباط با برهانی وجودی برای دستگاه معادلات مشتقات معمولی آمده است . همین طور
از مجموعه های غیر تهی مجزا، S در 1902 ، لوی در حالی که با گزاره " اجتماع مجموعه
دارد. "درگیر بود متوجه شد که اثبات آن بستگی به S عدد اصلی ای برابر یا بزرگتر از
امکان انتخاب عضوی از هر عضو دارد .
زرملو تلاش کرد به نظریه کانتور شکل دهد . . . در سال 1904 اصل انتخاب را به
این صورت تعریف کرد : حاصلضرب کارتزین خانواده ناتهی از مجموعه های ناتهی ، ناتهی
است . زرملو و راسل تقریباً همزمان به بیان دیگری از اصل انتخاب دست یافتند : تابعی
وجود دارد که به هر مجموعه از خانواده ناشمارا از مجموع هها ، عضوی از آن را نسبت
می دهد .
در حالی که زرملو کار " صوری " خود را ادامه م یداد ، جدال بین ریاضیدانان
فرانسوی هادامر ، بورل و لبگ در گرفت .
ریاضیدان لهستانی سیرپینسکی شروع به مشخص ساختن قضایایی کرد که نیاز به
این اصل نداشت . ریاضیدان آلمانی فرانکل در 1922 از اصل زرملو برای معرفی مدلی
استفاده کرد که نقیض اصل انتخاب در آن یک اصل بود .
ریاضیدانان لهستانی مانند تارسکی ، مستوفسکی و لیندنبوام به مطالعۀ نقیض اصل
انتخاب پرداختند .
در 1924 باناخ و تارسکی از اصل انتخاب تجزیه پارادوکسی کره را نتیجه گرفتند :
هر کره توپری قابل تجزیه به تعدادی متناهی قطعه است که از سر هم کردن دوباره آ نها
دو کره هم سایز کره اولیه به دست م یآید و نیز هر کره توپر قابل تجزیه به تعداد متناهی
قطعه است به طوری که آن ها را می توان طوری سر هم کرد که کر های توپر به اندازه
دلخواه به دست دهد .
پس از اینکه باناخ نتایج خلاف واقع اصل را متذکر شد شاهد مرگ نظریه
مجموعه دان های جوان هستیم .
ریاضی دان و منطق دان فرانسوی هربراند و نیز رمزی شاگرد راسل ، فوت کردند .
لیندبوام در هنگام جنگ جهانی دوم کشته شد و مقال ههایی از مستوفسکی مفقود شد
.مستوفسکی کسی بود که بیشتر حالات خاص اصل انتخاب را مورد مطالعه قرار داد :
گردایه شمارا از مجموعه ها ، گردایه ناشمارا از مجموع هها و حالتی که تمام مجموع ههای
نمایش داده می شود Cn عضو ، داشته باشند که با n ، گردایه تعداد مساوی عضو
در 1938 گودل سازگاری نسبی اصل انتخاب و فرضیه پیوستار تعمیم یافته را با
اصول نظریه مجموعه ها پایه گذاری کرد .
بالأخره در 1963 کوهن استقلال اصل انتخاب و فرضیه پیوستار را از سایر اصول
نظریه مجموع ههای زرملو – فرانکل اثبات کرد و به این ترتیب نشان داده شد که اصل
انتخاب یا نقیض آن ، هیچ یک قضیه نظریه مجموع ههای زرملو – فرانکل نیستند و افزودن
هر یک به عنوان یک اصل به این دستگاه سازگاری آن را مختل نم یکند . امروزه شاهد
وضعیتی هستیم که از قبول کامل تا رد این اصل تغییر م یکند . در حقیقت در مقابل این
اصل موضع گیری های زیر را داریم :
- تنها صورت ضعیفی از اصل انتخاب مانند اصل انتخاب شمارا را بپذیریم .
- قبول اصلی که اصل انتخاب نتیجه ای از آن باشد .
- قبول اصل انتخاب به عنوان اصلی منطقی ( هیلبرت با " اصل اپسیلون " خود
پیشنهاد دهنده این رویکرد بود . ) اگر نظریه مجموعه ها در چنین دستگاه صوری منطقی
اجرا شود اصل انتخاب قضیه تلقی می شود.
- قبول اصلی متناقص با آن
- استفاده از چهارچوبی کاملاً متفاوت برای ریاضیات مانند " نظریه رسته " جالب
توجه است که در چهارچوب " نظریه رسته " قضیه تیخونوف بدون استفاده از اصل انتخاب
قابل اثبات است .
در مورد جایگاه اصل انتخاب در شاخه های مختلف ریاضی ملاحظات زیر را داریم :
محققین مدرن توپولوژی پذیرای این اصل هستند زیرا به نظر م یرسد پیشرفت در
این شاخه از ریاضیات در غیاب اصل انتخاب بسیار اندک است . مسأله در جبر صورت
دیگری دارد . اگر چه استدلالهایی در جبر هست که بدون اصل انتخاب پا در هوا م یمانند ،
بسیاری از مباحث آن را می توان بدون این اصل برقرار کرد و لذا برخی متخصصین جبر
تمایل دارند که تا آنجا که امکان دارد بدون استفاده از آن برهان های خود را ارائه دهند.
بخش قابل ملاحظه ای از آنالیز بدون استعانت از اصل انتخاب برقرار است ، لیکن وقتی به
تئوری اندازه و آن قسمت هایی از آنالیز مدرن که بر مفاهیم توپولوژیکی تکیه دارند
می رسیم نادیده انگاشتن این اصل بسیار مشکل و شاید غیر ممکن به نظر می رسد .
1-2 اصل انتخاب و نتایج ناخوشایند آن
برابر است " چه Z روزی که برای اولین بار به شما گفتند " تعداد اعضاء و
احساسی پیدا کردید ؟
" این خلاف انتظار است . باید جایی در برهان اشتباهی شده باشد . حتماً یک جای
کار می لنگد . باور کردنی نیست . "
چرا ؟
ما تصوری که از تساوی اعضاء دو مجموعه داریم را به حالت نامتناهی انتقال
می دهیم و به این ترتیب چنین چیزی را غیرممکن می دانیم . ارائۀ یک تعریف مناسب از
تساوی اعضاء دو مجموعه غیر ممکن را ممکن می سازد .
احساس ریاضیدانان اولیه نسبت به اصل انتخاب نیز از همین جنس بود . در واقع به
نظر می رسد اصل انتخاب بعد از اصل توازی یکی از جنجالی ترین گزار ههایی است که
ریاضیات تاکنون به خود دیده است . بهتر است ابتدا به بیان صورتی از این اصل بپردازیم :
وجود f تابعی مانند ، F اصل انتخاب . برای هر گردایه از مجموعه های ناتهی
است . S متعلق به f (S ) ، F متعلق به گردایه S دارد به طوری که به ازای هر
می نامیم . F را تابع انتخاب روی f
به مثال های زیر از اصل انتخاب توجه کنید :
-1 طراح اولیه این مثال برتراندراسل است : فرض کنیم گردایه ای نامتناهی از جفت
کفش ها در دست باشد در این صورت هر گاه بخواهیم وجود مجموع های از کف شها را که
شامل دقیقاً یک کفش از هر جفت باشد ثابت کنیم نیازی به اصل انتخاب نداریم زیرا
چنین مجموعه ای را به روش قاطع م یتوان ساخت : پای چپ را از هر جفت انتخاب کن .
حال فرض کنیم گردایه ای نامتناهی از جفت جوراب ها داشته باشیم که در هر جفت ،
جورابها کاملاً شبیه به هم ، از یک اندازه و یک رنگ بوده به طوری که کاملاً از هم نامتمایز
باشند . آیا مجموعه ای وجود دارد که دقیقاً شامل یک جوراب از هر جفت باشد ؟
برای انتخاب یک جوراب از میان شمارای نامتناهی جف تهای جوراب به اصل
انتخاب نیازمندیم . اما برای کف شها از آن ب ینیازیم . در واقع ، جورابهای موجود در هر
جفت کاملاً شبیه به هم هستند و لذا ناگزیر به انتخاب یکی از آن دو هستیم .
a,b است که در آن {a,b} متشکل از مجموعه ها به فرم F -2 فرض کنیم
اعداد حقیقی هستند در این صورت تابع
f ({a,b}) = min(a,b)
است . F یک تابع انتخاب روی
متشکل از مجموع ههای یک عضوی است در این صورت وجود F -3 فرض کنیم
مسلم است . F یک تابع انتخاب روی
گردایه ای متناهی از مجموعه های ناتهی باشد در این صورت F -4 فرض کنیم
نتیجه می شود . ، F به کمک استقرا روی تعداد اعضای F وجود تابع انتخاب روی
گردایه تمام زیر مجموعه های غیر تهی وجود دارد . F -5 تابع انتخابی روی
S,T که {S,T} گردایه تمام جفت های نامرتب F -6 تابع انتخابی روی
زیر مجموعه های حقیقی هستند وجود دارد .
اما چه چیزی در اصل انتخاب وجود دارد که توانسته چنان جنجالی به پا کند ؟ ! !
بسیاری از جدال ها به تعبیر کلمه " وجود دارد " در صورت اصل انتخاب
بر می گردد. اگر دنباله رو ساختگرایان باشیم و " وجود دارد " را "پیدا کردن " تعبیر کنیم
در این صورت این اصل نادرست است چرا که برای زی رمجموعه های ناتهی اعداد حقیقی ،
تابع انتخاب پیدا شدنی نیست !
بیشتر ریاضی دانان برای " وجود دارد " معنای ضعی فتری قائل می شوند و این اصل
را در نظر بگیرید . S به دلخواه عضوی از f (S ) را درست تلقی می کنند : برای تعریف
یا هر شی ریاضی دیگری حتی عدد سه کاملاً صوری است و قوام مادیتی f وجود
که یک میز یا یک صندلی دارد را ندارد . آنها تنها در جهان ذهنی ریاضیات وجود می یابند.
زمانی که اصل انتخاب را قبول یا رد م یکنیم در واقع دنیای ریاض یای را که در آن
کار می کنیم ، مشخص م یکنیم . این اصل را چه قبول و چه رد کنیم مد لهای ارائه شده
توسط گودل و کوهن نشان م یدهند با تناقص روبرو نم یشویم . ریاضی دانان صرف یعنی
ریاضی دانانی که منط قدان یا نظری هپرداز مجموعه ها نیستند با قبول اصل انتخاب سادگی
کار را برای خود فراهم می کنند .
مطلب دیگری که باعث ایجاد بحث بر سر پذیرش آن می شود نتایج ناخوشایند و
حتی در برخی موارد مغایر شهودی است که پذیرش این اصل به دنبال دارد . در ادامه این
فصل به معرفی سه نمونه از این مثال ها می پردازیم :
می خواهیم تمام زیر مجموعه های {..., 1,2,3,4,5 } را با عنوان " کوچک " یا غیر .І
" کوچک " طبقه بندی کنیم به طوری که کلمه " کوچک " به گونه ای تعریف شده باشد
که خواص زیر را دارا باشد :
-1 هر مجموعۀ شامل صفر یا یک عضوی "کوچک " است
-2 هر اجتماعی از دو مجموعۀ "کوچک" کوچک است
-3 یک مجموعۀ "کوچک" است اگر متمم آن "کوچک " نباشد .
بدون دردسر م یتوان مثال هایی ارائه داد که در دو شرط از سه شرط بالا صدق
کنند :
کوچک " را به معنی " متناهی " بگیرید . این مفهوم در شرایط 1 و 2 صدق " ●
می کند اما در شرط 3 صادق نیست . زیرا اعداد زوج و فرد متمم هم هستند اما هیچ یک
متناهی نیستند .
یک مجموعه را " کوچک " بنامید هرگاه 1 عضوی از آن نباشد . این تعریف در ●
شرایط 2 و 3 صدق می کند اما { 1} را به عنوان مجموع های " غیر کوچک " کلاس بندی
می کند که شرط 1 را نقص می کند .
یک مجموعه را " کوچک " بنامید هرگاه حداکثر شامل یکی از سه عدد 1و 2و 3 ●
باشد . این شرایط 1 و 3 را برآورده می کند اما مجموعه های { 1} و { 2} را به عنوان
" کوچک " و مجموعه { 1,2 }را به عنوان غیر " کوچک " طبقه بندی می کند لذا شرط 2
دیگر صادق نیست .
آیا طبقه بند یای موجود است که در هر سه قانون صدق کند ؟ جالب است بدانید
چنان طرح طبقه بندی ای موجود است اما مثالی از چنان طرحی موجود نیست ( که باعث
دشواری شهود آن م یشود . ) . این به این معنا نیست که تاکنون چنان مثالی پیدا نشده
است بلکه منظور این است که برها نهای وجود ، ذاتاً غیر ساختنی هستند یعنی قابل
جایگزینی با برهان های ساختنی نیستند لذا هیچ مثالی ، هیچ گاه پیدا نخواهد شد .
در توضیح ارتباط این مثال با اصل انتخاب ، لازم است بیان شود که در برهان وجود
چنان طرحی ، از لم زورن استفاده م یشود که معادل با اصل انتخاب است . در نشان
دادن این مطلب که برهان وجود ، ذاتاً غیر ساختنی است ابتدا به تعریف " مثال "
ZF+DC می پردازیم . منظور از یک " مثال " چیزی است که وجود آن تنها به کمک
اصل انتخاب های وابسته است که صورت ضعیف تری از ، DC قابل اثبات باشد ( منظور از
اصل انتخاب است و در بخش های بعد معرفی شده است ) .
مشهور ترین نتیجه ناخوشایند حاصل از پذیرش اصل انتخاب وجود مجموع های . ІІ
از اعداد حقیقی است که لبگ- اندازه پذیر نیست . این موضوع نتایج ناخوشایندی را به
دنبال دارد مثلاً در این صورت ، می توان زیر مجموعه ای از بازه [ 0,1 ] ساخت که اندازه
داخلی آن 0 و اندازه خارجی آن 1 است . جالب توجه است که وجود چنین مجموعه ای
حتی در حضور اصل انتخاب های وابسته که برای گسترش نظریه اندازه ها لازم است ZF در
، قابل اثبات نیست .
زیر مجموعه ای از اعداد حقیقی S′ نشان دهنده اندازه لبگ μ(S ) فرض کنید
دارای خواص زیر است : μ باشد در این صورت
μ داریم: [a,b] به طور شمارا جمعی است . تحت انتقال پایاست . برای هر بازه
μ ([a,b]) = b − a
در این مثال منظور از اندازه ، اندازه لبگ است .
برای اعداد حقیقی بازه [ 0,1 ] تعریف می کنیم :
x~ y ↔ x − y∈φ
نمایشگرکلاس [x] رابطه "~" یک رابطه هم ارزی روی [ 0,1 ] است . فرض کنید
داده شده در [ 0,1 ] باشد . به کمک اصل انتخاب از هر کلاس هم x هم ارزی به ازای
چنان موجود است که برای هر عدد M ⊆ [ ارزی یک عضو انتخاب می کنیم لذا [ 0,1
چنان موجودند r و عدد گویای یکتای M در y عدد حقیقی منحصر به فرد ، x حقیقی
Mr = {y + r : y∈M} قرار می دهیم ، r به ازای هر عدد گویای . x = y + r که
در این صورت افرازی از اعداد حقیقی با شمارا مجموعه مجزا موجود است :
R = U{Mr : گویاست r} (1-1)
اندازهپذیر باشد با M اندازهپذیر نیست زیرا اگر M از اینجا نتیجه می شود که
تناقص زیر روبرو می شویم :
1) و خواص اندازه لبگ - امکان ندارد زیرا در این صورت بنا به ( 1 μ(M) = اولاً 0
. μ (R) = 0
نیز امکان پذیر نیست زیرا در این صورت μ (M) > همچنین 0
μ ([0,1])≥ μ (U{Mr : گویاست r ,0 ≤ r ≤1}=
Σ ( ) =Σ ( ) = ∞ . 0≤r≤1 Mr 0≤r≤1 M μ μ
( در [ 6] مدلی از نظریه مجموعه ها ارائه شده است که در آن هر مجموعه لبگ
اندازه پذیر است . )
As he went ashore he saw a great throng; and he had
compassion on them, and healed their sick. When it was
evening, the disciples came to him and said: “This is a
lonely place, and the day is now over; send the crowds away
to go into the villages and buy food for themselves.” Jesus
said: “They need not go away; you give them something to
eat.” They said to him: “We have only five loaves here and
two fish.” And he said: “Bring them here to me.” Then
he ordered the crowds to sit down on the grass; and taking
the five loaves and the two fish he looked up to heaven, and
blessed, and broke and gave the loaves to the disciples, and
the disciples gave them to the crowds. And they all ate and
were satisfied. And they took up twelve baskets full of the
broken pieces left over. And those who ate were about five
thousand men, besides women and children.
Mt 14:14–21
مثال سوم که در این جا تنها به بیان نتایج آن می پردازیم و شرح جزئیات آن . III
را به بخش بعد واگذار م یکنیم پارادوکسی است که شبیه اطعام 5000 نفر است . این
پارادوکس که در 1924 توسط دو ریاضیدان لهستانی استفن باناخ و الفرد تارسکی اثبات
شد ، قضیه باناخ-تارسکی نام دارد . آنچه در مورد این قضیه جلب توجه م یکند نتایج
غیر مأنوسی است که از آن حاصل م یشود . در حقیقت اتفاقی که در این جا م یافتد بسیار
افتاد . وجود ( Z شبیه به اتفاقی است که در مثال ابتدای بخش (هم عدد بودن و
مفاهیمی مأنوس در صورت نتایج باعث می شود که آنها غیر مأنوس و عجیب جلوه کنند.
هر دو (n ≥ بعدی ( 3 n پارادوکس باناخ-تارکسی. در هر فضای اقلیدسی
مجموعه دلخواه که شامل نقاط داخلی باشند با تجزیه متناهی معادل یکدیگرند .
بدون آنکه به معنی عبارت های فنی این حکم بپردازیم برخی از نتایج آن را بیان می کنیم:
هر جسم محدود سه بعدی که دارای نقاط داخلی باشد را می توان چنان به تعداد ●
متناهی قطعه تقسیم کرد که از سر هم کردن قطعات به هر جسم س هبعدی محدود دیگری
که دارای نقاط داخلی است ، رسید . تبدیل 5 نان و 2 ماهی به غذای کافی برای اطعام
جمعیتی بیش از 5000 نفر تمرین کوچکی از این موضوع است .
یک پرتقال را می توان به تعداد متناهی تکه ، طوری برش زد که از سر هم کردن ●
دوباره تکه ها به دو پرتقال ، هم اندازه پرتقال اول رسید .
یک نخود را می توان چنان به قطعاتی متناهی تقسیم کرد که از سرهم کردن ●
دوباره آنها توپی توپر با قطری بزرگتر از از فاصله زمین و خورشید به دست آورد .
اما اینها چگونه ممکن است ؟!
پارادوکس باناخ-تارسکی ، قضی های وجودی است . راهی وجود دارد که م یتوان از
تکه کردن یک نخود و سر هم کردن دوباره قطعات به مجسمه تمام قد باناخ رسید . این که
شما راه این کار را پیدا نمی کنید به این معنا نیست که چنین راهی وجود ندارد .
نکته عجیبی که در مورد قضیه باناخ – تارسکی به نظر می رسد این است که حجم
چیزی از هیچ ، افزایش یافته است .
در مورد حجم اجسام در فضای سه بعدی قوانین زیر را داریم :
B~ اگر جسم ●
در فضای سه بعدی حاصل B تنها با حرکت دادن جسم B از جسم
شده باشد آنگاه
V(B~)=V(B)
اجسامی در فضای سه بعدی باشند آنگاه حجم اجتماع آ نها B1, . . . ,Bn اگر ●
کمتر یا مساوی مجموع حجم های آن هاست یعنی
( ) ( ) ( ) V B1 ∪...∪ Bn ≤V B1 + ...+ Bn
اجسامی در فضای سه بعدی باشند که هر دو تای آن ها نقطه B1, . . . ,Bn اگر ●
مشترکی نداشته باشند آنگاه حجم اجتماع آنها مساوی مجموع حجم های آ نهاست :
( ) ( ) ( ) V B1 ∪...∪ Bn = V B1 + ... + Bn
B زیر مجموعه های B1, . . . ,Bn شی سه بعدی داده شده باشد و B فرض کنید
B به این نحو ، B = B1 ∪...∪ Bn هستند که هر دو تای آنها نقطه مشترکی ندارند و
به تعداد متناهی قطعه تقسیم شده است .
ها را در فضای سه بعدی حرکت (ترکیبی از انتقال و دوران ) Bj حال هر یک از
B Bn دهید و ~ ,....., ~
B 1 را به دست آورید این قطعات را سر هم کنید تا به ~ برسید یعنی
n B~ B~ .... B~
1 = ∪ ∪
B و B در این صورت در ارتباط با حجم ~
داریم :
( ) ( ) n V B V B ∪.....∪ B 1 =
=V(B1 )+ .....+V(Bn ) (iii) قانون
V (B ) V (Bn ) (i) قانون ~ .... ~
1 = + +
V (B Bn ) (ii) قانون ~ .... ~
1 ≥ ∪ ∪
V (B) = ~
B از اینجا نتیجه می شود حجم ~
باشد و نمی تواند B باید کمتر مساوی حجم
بیشتر باشد !
پارادوکس باناخ-تارسکی اشتباه است !
واقعاً ؟
در پس تمام این حر فهایی که زدیم این پی شفرض وجود دارد که هر جسم
سه بعدی دارای حجم است .
اما آیا این درست است ؟
در واقع اندازه لبگ روی برخی زیر مجموعه های 3
تعریف شده و قابل تعمیم به
تمام زیر مجموعه های 3
با حفظ دو خاصیت زیر نیست :
-1 اندازه لبگ به طور شمارا جمعی است .
-2 اندازه لبگ تحت انتقال و دوران پایاست
تکه ها در پارادوکس باناخ – تارسکی انداز هپذیر نیستند و این باعث م یشود نتیجه
مذکور در مورد آن کاربردی نداشته باشد .
همچنین مشاهده می کنیم که قضیه باناخ – تارسکی این نتیجه را فراهم می کند
که مجموعه هایی وجود دارند که لبگ اندازه پذیر نیستند .
جالب توجه است که هم وجود زی رمجموعه ای لبگ انداز هناپذیر و هم قضیه باناخ –
تارسکی از قضیه هان – باناخ ( صورت این قضیه در فصل دوم آمده است ) نتیجه می شوند
خواننده علاقه مند می تواند به مقالات [ 9] و [ 8] مراجعه کند .
1-3 پارادوکس باناخ – تارسکی یا آنچه ریاضیات و شعبده در اشتراک با
هم دارند
مطالب بیان شده در این بخش از مطلبی که آقای فرانسیس ادوارد سو با عنوان
The Banach – Tarski paradox
نوشته است ، به دست آمده است .
هدف ایشان از این مقاله ارائه برهانی خودآموز از قضیه باناخ – تارسکی و معرفی
موضوع های مرتبط به این قضیه است .
نشان داده اند که مینمال تعداد قطعات در تجزیه 5 تا است که این تعداد از لحاظ
کمیت جالب توجه است . همچنین با بیان مسئله ای از هندسه کلاسیک ( چه وقت یک
کثیر الاضلاع را می توان به قطعاتی چند ضلعی برش زد که از سر هم کردن دوباره آنها به
کثیر الاضلاع دیگری رسید ) قضیه بولیا – گرواین را بررسی کرده اند . در پایان به معرفی
پرداخته و شرح کوتاهی در مورد این گروه ها آورده اند . ما از این Amenable گروه های
مقاله تا جایی که به اثبات قضیه باناخ – تارسکی مربوط م یشود می آوریم و خواننده
علاقه مند را برای ملاحظه سایر مطالب جالب این مقاله به [ 6] ارجاع می دهیم .
1-3-1 مقدمه
در 1924 باناخ و تارسکی قضیه مشهوری را اثبات کردند : با افراز توپ توپر داده
شده در 3 قطعه به تعداد متناهی و سر هم کردن مجدد قطعات م یتوان به دو توپ هم
اندازۀ توپ اولیه رسید .
در ابتدا به وضوح چنین مضاعف سازی ای غیر ممکن به نظر م یآید اما لحظه ای
تأمل به یادمان می آورد که ریاضیات الزاماً پیرو شهود نیست .
درست است که اصل انتخاب برای اثبات قضیه باناخ – تارسکی لازم است اما
خواهیم دید که پارادوکس های مشابهی وجود دارند که از انتخاب استفاده ای نکرده اند .
نمایانگر گروه ایزومتری های Gn در این جا n
گروه دوران های Son و n
است . یک مجموعه انتخاب برای گردایه ای از مجموع هها (که وجود آن ناشی از اصل
انتخاب است ) مجموعه ای است که از انتخاب یک عضو از هر مجموعه گردایه مفروض ،
حاصل می شود .
تجزیه پارادوکسی
قبل از ارائه اثباتی برای قضیه باناخ – تارسکی به پارادوکس هایی اشاره می کنیم که
فهم تکنیک هایی که در این قضیه آمده است را برایمان آسان می کنند .
یکی از قدیم یترین پارادوکس ها که فرمی بسیار نزدیک به پارادوکس باناخ –
تارسکی دارد از گلاویز شدن با مفهوم نامتناهی حاصل م یشود . به عنوان مثال ، مجموعه
اعداد طبیعی در تناظر یک به یک با مجموعه تمام اعداد صحیح است حال اگر تناظر
با زیر مجموعه ای از خود " مساوی " است ! Z مجموعه ها به معنای " تساوی " تلقی شود
است Z به دو مجموعه( اعداد صحیح زوج و فرد) که هر یک " مساوی " با Z همچنین
افراز می شود ! ! !
کانتور روی این موضوع کار کرد و نظریه کاردینال ها را بنا نهاد که امروزه
ریاضی دانان با فهم و قبول آن مشکلی ندارند.
به دلیل این نظریه ، می دانیم که "تعداد" نقاط در یک بازه برابر "تعداد" نقاط در
نشان داده م یشود تعداد f(x)=2x یک مربع است یا " با کشیدن ( 1و 0] توسط تناظر
نقاط بازه ( 1و 0] با ( 2و 0] برابر است دوباره پارادوکس قبلی حاصل می شود :
بازه ( 2و 0] اجتماع دو بازه است که هر یک توسط تناظری "کششی" مساوی
2و 0] است ؛ )
[0,2) = [0,1)∪ [1.2)
با این وجود ، این مطلب ما را شوکه نمی کند .
اما وقتی تعداد قطعات را متناهی و انتقا لهای مجاز را ایزومتر یهای محیط اطراف
خود در نظر می گیریم چنین پارادوکسی محیر الشهود خواهد بود .
توجه کنید که پارادوک سهای قبلی بستگی به مجموعه انتقال های مجاز دارند لذا
احتیاج داریم که تعری فمان از پارادوکسی بودن به گروهی وابسته باشد که عمل آن بر
مجموعه ، انتقال ها را برایمان تولید کند .
عمل می کند و X گروهی باشد که روی مجموعه G 1-3-2 تعریف فرض کنید
ی ، n و m پارادوکسی می نامیم هرگاه به ازای -G را E . است X زیر مجموعه ای از E
E از Bn تا B و همچنین 1 Am تا A و زیر مجموعه های مجزای 1 G در hn تا h و 1 gm تا g1
موجود باشد که
( ) ( ) E = ∪gi Ai = ∪hi Bj
است . X هرگاه صحبتی از گروه مورد نظر نشد منظور گروه ایزومتری های
{gi (Ai )} را نپوشاند و E ممکن است کل {Ai}∪{Bj} ، توجه کنید در تعریف
ممکن است دو به دو مجزا نباشند این موضوع مشکلی ایجاد نم یکند زیرا {hi (Bj )} یا
ها را کوچکتر انتخاب کنیم تا مطمئن شویم که دو به دو مجزا هستند Bj , Ai می توانیم
در تجزیه استفاده کنیم . E همچنین ثابت می شود که می توانیم از تمام
1-3-3 قضیه (پارادوکس باناخ – تارسکی) هر توپی در
3 پارادوکسی است .
پارادوکس ها در ابتدا در مطالعه انداز هها ظاهر شدند . در حقیقت آنها ساخته
می شدند تا عدم وجود انواع مشخصی از اندازه ها را نشان دهند به مثال زیر توجه کنید :
پارادوکسی است (یعنی پارادوکسی با – So به طور شمارا 2 S 1-3-4 قضیه 1
تعداد شمارا قطعه )
تولید شده توسط دورا نهایی که زاویه آنها مضرب So زی رگروه 2 ، RSo برهان 2
مجموعه انتخابی از گردایه H 2 است را در نظ ربگیرید . فرض کنید π گویایی از
باشد . قرار دهید So2/RSo همرده های 2
M := {σ (1,0),σ ∈H}
چون RSo توان به صورت شمارا است اعضاء آن را می 2 i
ρ نمایش داد . قرار دهید
Mi = ρi (M)
S افرازی شمارا از {Mi : i∈ N} در این صورت 1
ها توسط Mi است به علاوه
به تنهایی دوران {M2 ,M4 ,M دوران با یکدیگر همنهشت اند لذا هر مجموعه در {..., 6
است . S را به دست می دهد که اجتماع آنها 1 {M1,M داده می شود و {..., 2
S قابل اجرا است لذا {M1,M3,M نظیر آن برای {..., 5 ، 1 –So به طور شمارا 2
پارادوکسی است.
، 1-3-5 نتیجه هیچ اندازه به طور شمارا جمعی ، تحت دوران پایا با اندازه کلی 1
S تعریف شده روی زیر مجموعه های 1
موجود نیست .
در برهان بالا قرار می دهیم : ، μ ، برهان در صورت وجود چنین اندازه ای
i
i O
B M
∈
:= ∪ i و
i E
A M
∈
:= ∪
در این صورت خواهیم داشت :
1 = μ(s′) با اندازه کلی 1 است μ
= μ(A)+μ(B) به طور شمارا جمعی است μ
= μ (S1)+μ (S تحت دوران پایاست ( 1 μ
= 2
■ . که تناقص است
هم ترکیب
مثال بعدی یک پارادوکس به مفهوم تکنیکی آن نیست اما جالب است و در آینده
مورد استفاده قرار می گیرد .
افراز شدنی به دو مجموعه است که S1\ {pt} نشان می دهیم که دایره شکسته
قابل سر هم کردن به منظور تشکیل دایره ای کامل اند .
ابتدا نیاز به زبانی برای توصیف این مطلب داریم :
B و A عمل می کند و X روی مجموعه G 1-3-6 تعریف فرض کنید
به B و A هم ترکیب نامیده می شوند هر گاه -G ، B و A هستند X زیر مجموعه هایی از
است Bi هم نهشت با Ai باشند به طوری که هر Bn تا B و 1 An تا A ترتیب قابل افراز به 1
این یعنی ، gi در ی G موجود است که ( ) i i i B A g = نویسیم در این صورت می B A G ~
. A~B یا
می تواند به تعداد متناهی زی رمجموعه افراز شود که از A این به این معناست که
پدید آید . B سر هم کردن آنها
A و A~B به آسانی دیده می شود " ~ " یک رابطه هم ارزی است . به علاوه اگر
نیز پارادوکسی است . B پارادوکسی باشد آنگاه
هم ترکیب با S1\ {pt} 1-3-7 قضیه
S1 بیانگر نقط های از pt است . (نماد
مجموعه داده شده است . )
از حذف گروه متوجه می شویم که منظور گروه یکمتر یهای 2
S است و 1
را با
یکی می گیریم . {x : x =1}
برهان 2 با در نظر می گیریم و قرار eiθ = را 1 pt . را یکی م یگیریم
می دهیم
A:= {ein : n∈N}, B := (S1 \ {pt})\ A
2 گنگ است . با ثابت π عددی است طبیعی منحصر به فردند زیرا n که ein نقاط
یک رادیان دوران می دهیم . این ρ (z) = e−iz را به کمک ایزومتری B ، A نگ ه داشتن
مجموعه حاصل را . گرداند دوران هر نقطه را یک رادیان به عقب بر می A ~ می نامیم در این
صورت داریم :
{ } ( ) 1 . ■ S′ \ pt = A∪ B ~ B ∪ρ A = B ∪ A~ = S
ساخت بالا ایده جالبی برای ساختن پارادوک سها به ما م یدهد . در این جا در
تنها دوران های ) ρ حقیقت ما تصویر یک نقطه را تحت زیر نی مگروه تولید شده توسط
مثبت ) در نظر گرفتیم . چون نیم گروه آزاد بود از دوران معکوس (به دست آمده از گروه
حاوی این نیم گروه ) هم می توانستیم استفاده کنیم تا هر نقطه را یکی به عقب " شیفت "
دهیم . در حقیقت این ایده ، پایه آنچه در زیر می آید را شکل می دهد :
1-3-8 قضیه (پارادوکس سیرپینسکی – مازورکویچ) زیر مجموعه ای از 2
موجود است که پارادوکسی است .
برهان می توانیم آن مجموعه را حدس بزنیم
E {a a e a e a e n a N} j
ni
n
= + i + 2i + ....+ : , ∈
0 1 2
θ θ θ
کار ساز است . θ = متعالی است ، به ویژه 1 eiθ که θ برای هر
از گروه S است که یک زی رنیم گروه ρ ,τ هدف ما مشخص کردن دو ایزومتری
در صفحه اختیار x از صفحه را تولید می کنند . سپس نقط های مانند G ایزومتری 2
S تمام تصویر های این نقطه تحت کلمات در E = {W(x): x∈S} می کنیم و مجموعه
E آنگاه مشاهده می شود τ (a) ≠ ρ (b), a,b∈E را در نظر می گیریم . اگر برای هر
و لذا τ (E)∩ρ (E) =φ پارادوکسی است زیرا در این صورت
τ −1(τ (E)) = ρ −1(ρ (E)) = E
معرفی کنیم τ (z) = z + عددی متعالی است و 1 r = eiθ که ρ (z) = rz اگر
آنگاه برای هر دو کلمه ، x := ( این دو ایزومتری هایی از صفح هاند ) و قرار دهیم 0
نشان خواهیم داد : w1,w2 ∈S
τ (w1(0)) ≠ ρ (w2 (0))
که نشان می دهد کلمات خود با هم مساوی نیستند .
تنها با نوشتن دو طرف .τ (w1(0)) ≠ ρ (w2 ( به سادگی بررسی م یشود (( 0
مشاهده کنید اگر تساوی برقرار باشد تفاضل آنها r معادله بر حسب یک چن دجمله ای از
■ . به وجود می آورد که با انتخاب آن در تناقص است r یک رابطه جبری بر حسب
در ادامه به مطالعه گروه های پارادوکسی می پردازیم جایی که گروه روی خودش با
ضرب از چپ عمل می کند .
گروه های پارادوکسی
اولین مثال از یک گروه پارادوکسی ، گروه آزاد با دو مولد است که برخی اوقات
گروه آزاد مرتبه 2 نیز نامیده می شود .
پارادوکسی است . -F ،σ ,τ با دو مولد F 1-3-9 قضیه گروه آزاد
که در B(ρ ):= { شروع می شود ρ برهان قرار دهید { کلماتی که از چپ با
باشد . در این صورت τ −1 ,τ ,σ −1 ,σ ممکن است ρ آن
F = B(σ )∪σB(σ −1 )∪ B(τ )∪ B(τ −1 )
اجتماع مجموعه هایی دو به دو مجزاست اما
( ) ( 1 ), ( ) ( 1 ) F = B σ ∪σB σ − F = B τ ∪τB τ −
پارادوکسی است . F نشان می دهد
را طوری تجزیه کنیم که { 1} در یکی از 4 مجموعه قرار بگیرد . برای F می توانیم
باشد در این صورت باید B(σ ) این منظور ، فرض کنید 1
σ −1 را از ( ) Bσ −1 خارج کنیم
محاسبه می شود . σB(σ − زیرا در غیر این صورت 1در دوباره در ( 1
دوباره حساب σ −n+ خارج شود تا 1 B(σ − باید از ( 1 σ −n به استقرار می بینیم
نشود . پس اجازه دهید افراز جدید مشابه قبلی باشد با این تفاوت که
B′(σ ) = B(σ )∪{1}∪{σ −n : n∈ N}, B′(σ −1 )= B(σ −1 )\ {σ −n : n∈ N}
در این صورت
. ■ F = B′(σ )∪σB′(σ −1)
به دست می دهد .دقت کنید X پارادوکسی بودن -G قضیه زیر شرطی کافی برای
در برهان این قضیه از اصل انتخاب استفاده شده است .
بدون نقطه X گروهی پارادوکسی است که روی G 1-3-10 قضیه فرض کنید
پارادوکسی است . -G، X ثابت غیر بدیهی عمل می کند در این صورت
مجموع هها و G اعضای hj و gi وG زیر مجموعه های Bj و Ai برهان فرض کنید
از M هستند . مجموعه انتخاب G انتقال هایی باشند که " گواه " پارادوکسی بودن
X افرازی برای {g(M): g ∈G} را در نظر بگیرید . در این صورت X در G مدارهای
بدون نقطه ثابت غیر بدیهی است . ) قرار دهید X روی G است (توجه کنید که عمل
{ ( ) } { ( ) } B′j = ∪ g M : g ∈Bj , Ai′ := ∪ g M : g ∈ Ai
مجموعه ها دو به دو مجزا هستند و ملاحظه می کنیم: {B′j},{Ai′} در این صورت در
. ■ { } { } X = ∪ Ai′ = ∪ B′j
1 دارد توجه کنید . -3- به تشابهی که برهان این قضیه با قضیه 3
1 یک شرط کافی برای پارادوکسی بودن یک -3- همان طور که گفته شد قضیه 9
گروه به دست م یدهد . سؤال جالبی که ممکن است مطرح شود این است که چه
گروه هایی پارادوکسی هستند ؟
وجود دارند که دارای انداز های متناهی جمعی با amenable گروه هایی به نام
اندازه کل 1 تعریف شده روی تمام زیر مجموعه هایی که تحت ضرب چپ پایا هستند . این
گروه ها ، دقیقاً رده گروه های ناپارادوکسی را تشکیل می دهند .
G زیر گروهی پارادوکسی باشد آنگاه ، H حاوی ، G 1-3-11 قضیه اگر گروه
پارادوکسی است .
با ضرب از چپ بدون نقطه ثابت عمل می کند (معکوس پذیری G روی H برهان
1 ) اما در این صورت -3- پارادوکسی است (قضیه 9 -H ، G باعث این اتفاق می شود .) لذا
■ . پارادوکسی است -G ،G
1-3-12 نتیجه هر گروهی با زیر گروهی آزاد از مرتبه 2 ، پارادوکسی است .
1 برقرار است . -3- صورت قوی تری از عکس قضیه 9
پارادوکسی است . ،G پارادوکسی باشد آنگاه -G، X 1-3-13 قضیه اگر
هستند . در این X پارادوکسی بودن –G گواه hj , gi , B′j , Ai′ برهان فرض کنید
را در نظر بگیرید . تعریف کنید x∈H و نقطه H ، X مداری روی –G صورت
{ ( ) } { ( ) } i i j j A = g : g x ∈H ∩ A′ , B = g : g x ∈H ∩ B′
ها دو به دو متمایزند Bj , Ai این ها دو به دو متمایزند زیرا
( ) { ( ) } { ( )}
{g g (x) X} G
g A g g g x H A g g g g H g Ai i i i i i i i
= ′ ′ ∈ =
= ∈ ′ = ∈ ′
:
∪ ∪ : ∩ ∪ : ∩
■ . ∪ hj (Bj )= G به طور مشابه به دست می آوریم
1 را به کار ببریم در حالی که -3- ما علاقمند به رو شهایی هستیم که قضیه 10
در نظر گرفته ایم . در این G را به عنوان زیر گروهی از 3 F گروه آزاد مرتبه 2 ، و G=F
صورت ، به محض اینکه متوجه شویم با نقاط ثابت غیربدیهی چه باید بکنیم قضیه باناخ –
تارسکی را ثابت کرده ایم .
پارادوکس هاسدروف
هاسدروف این پارادوکس را در 1914 در تلاشی برای نشان دادن عدموجود
به سه زیر مجموعه S اندازه هایی خاص روی کره ساخت : به جز تعداد شمارا نقطه ، 2
قابلافراز است که در آن ≅ به معنی همنهشتی A ≅ B ≅ C ≅ (B ∪C) که C,B,A
است (دو جسم در 3 می همنهشت نامیده شوند هرگاه بتوان یکی را به کمک انتقال یا
S دوران بر دیگری منطبق کرد .) روش او یافتن دو دوران برای 2
بود که گروهی آزاد
تولید میکند . اینها دورانهایی به زاویه 3 Z3٭Z یکریخت با 2
2
π
حول محورهایی π و
متعالی است . cos2θ یی است که θ هستند که زاویه بین آنها
را تضمین So کافی است است دو دوران که وجود زیرگروهی از مرتبه 2 برای 3
تجزیهای پارادوکسی S میکند بیابیم . این موضوع ما را قادر میکند تا با " بالابردن " به 2
داشته باشیم .
موجود است که مبداء را در ρ ,ϕ 1-3-13 قضیه دو دوران مستقل
R3 ثابت
زیرگروهی آزاد از مرتبه 2 دارد . ، Son , n ≥ نگهمیدارد لذا برای 3
ها هرکدام x ها و z را دورانهایی پادساعتگرد به ترتیب حول محور ρ ,ϕ برهان
به زاویه 5
arccos 3 در نظر بگیرید . در این صورت
      


      


±
=
     


      

± = ± ±
5
3
5
0 4
5
4
5
0 3
1 0 0
,
0 0 1
0
5
3
5
4
0
5
4
5
3
1 1 ∓
∓
ϕ ρ
زیرگروهی آزاد از مرتبه 2 تولید میکنند باید نشان ρ ,ϕ برای اینکه نشان دهیم
همانی نیست . اگر چنین کلمه ρ ±1 ,ϕ ± دهیم هیچ کلمه مختصر غیربدیهی بر حسب 1
ϕ میرسیم که به w به کلمه ϕ موجود باشد در صورت لزوم با مزدوجگیری آن توسط
به فرم w( ختم شده است و مساوی همانی است . ادعا میکنیم( 1,0,0
( )
k
a b c
5
, ,
بر 5 بخش پذیر نیست . این نشان b اعداد صحیح هستند و c,b,a است که در آن
است . w که خلاف فرض همانی بودن w(1,0,0) ≠ ( می دهد( 1,0,0
به طول 1 شروع w اثبات م یشود . کار را با w ادعا به کمک استقرا روی طول
می کنیم در این صورت ( ) ( ) , 1
5
1,0,0 3,4,0 و همه چیز برقرار است . حال w = w =ϕ ±
برقرار باشد نشان می دهیم برای کلمات به k- فرض می کنیم حکم برای کلمات به طول 1
باشد در این صورت k کلمه ای به طول w برقرار است . فرض کنیم k طول
و لذا بنا بر فرض k- کلمه ای است به طول 1 w′ که درآن w = ρ ±1w′ یا w =ϕ ±1w′
استقرا ( ) ( )
5 1
1,0,0 , , −
′ ′ ′
′ =
k
w a b c بر 5 بخش پذیر نیست . داریم b′ است که
( ) ( )
k
w a b c
5
1,0,0 = , , که در آن
a = 3a′ ∓ 4b′ b = 3b′ ± 4a′ c = 5c′ for w =ϕ ±1w′
یا
a = 5a′ b = 3b′ ∓ 4c′ c = 3a′ ± 4b′ for w =ϕ ±1w′
b همیشه صحیح خواهند بود .برای نشان دادن اینکه c,b,a این نشان میدهد
به یکی از 4 فرم زیر باشد (جایی w هرگز بر 5 بخش پذیر نیست در نظر می گیریم که اگر
کلمه ای دلخواه است . ) چه اتفاقی می افتد . γ که
بر 5 قابلقسمت است . a′ که b = 3b′ ± 4a′ آنگاه w =ϕ ±1ρ ±1γ اگر
بر 5 قابلقسمت است . c′ که b = 3b′ ∓ 4c′ آنگاه w = ρ ±1ϕ ±1γ اگر
b بر 5 قابلقسمت نیست لذا در این دو حالت b′ از طرفی بنا به فرض استقرا
نمی تواند بر 5 قابل قسمت باشد .
b = 6b′ − 25b′′ در این صورت w = ρ ±1ρ ∓1γ یا w =ϕ ±1ϕ ∓1γ اگر
حاصل می شوند : برای γ ( اعدادی صحیح هستند که از( 1,0,0 c′′,b′′,a′′ که در آن
برهان را می آوریم .برهان حالت دیگر مشابه است w =ϕ ±1ϕ ∓1γ حالت
( )
b ( b a ) b b b
b b a b a b b b a b b
′ + ′′ ± ′′ − ′′ = ′ − ′′
= ′ ± ′ = ′ ± ′′ ′′ = ′ + ′′ ± ′′ − ′′ − ′′ =
3 3 3 4 25 6 25
3 4 3 12 ∓16 3 9 12 16 9
نمی تواند بر 5 قابلقسمت b، نسبت به 5 اول است لذا b′ چون بنا به فرض استقرا
■ . باشد
زیر گروه آزاد مرتبه 2 ، دو نقطه از کره را ثابت نگه م یدارد . ، F حال هر عضو
فرض کنیم
D={ ثابت می ماند G {تمام نقاطی که توسط عضوی از
خواهیم S 2 \ D 1 برای -3- شمارا است . با کاربرد قضیه 10 D در این صورت
داشت :
چنان موجود است که ، D 1-3-15 پارادوکس هاسدروف مجموعه ی شمارا
S 2 \ D پارادوکسی است . – So3 ،
پارادوکس باناخ-تارسکی
مذکور در پارادوکس هاسدورف ، اهمیت D نشان می دهیم مجموعه شمارای
چندانی ندارد .
1-3-16 قضیه
S2 هم ترکیب اند. – So3 ، S 2 \ D و
1 است . -3- برهان این قضیه بسیار شبیه به برهان قضیه 6
را ثابت نگه ندارد . D برهان محورهای دورانی انتخاب کنید که هیچ نقط های از
را در نظر بگیرید که مضرب صحیحی ،τ ، سپس مجموعه تمام دوران های حول این محور
می برد . این مجموعه شمارا است اما تعداد کل D را به نقطه دیگری از D از آن نقطه ای از
اختیار کنید . در این صورت θ دورانی به زاویه τ را خارج از ρθ . دوران ها ناشماراست
نمی برد و لذا برای اعداد طبیعی D را به نقط های دیگر از D نقطه ای از ρθ هیچ مضربی از
متمایزند . قرار دهید ρθn (D),ρθm (D),n,m متمایز
A:= ∪{ρθn (D): n∈N} و B := S 2 \ A
داریم :
S 2 \ D = B A ~ B −1(A) = S 2 . ■
θ ∪ ∪ρ
پارادوکسی است .به علاوه نتیجه می شود : – So3 ، S این نشان می دهد 2
1-3-17 قضیه (پارادوکس باناخ-تارسکی)
B3 ، گوی توپر در R3 پارادوکسی – G3 ،
است .
پارادوکسی است می توانیم برای هر قشر ضخیم تری با ارائه S برهان چون 2
پارادوکسی برای کره ای در آن قشر و قرار دادن نقاطی که در امتداد یک شعاع هستند در
پارادوکسی B3 \ { یک قطعه از تجزیه ، به پارادوکسی برای آن دست یافت . از اینجا { 0
خواهد بود .
زیرا در این صورت خواهیم داشت : B3 \ {0}~ B کافی است نشان دهیم 3
\ {0} {0} 3 3 B = B ∪
\ { پارادوکسی بودن { 0 ~ 3 \ {0} 3 \ {0} {0} B3 B ∪ B ∪
{ } = B3 \ 0 ∪ B3
B3 \ {0}~ B3 = B3 ∪ B3
که قضیه را ثابت می کند .
که مبدأ نقطه شکستگی آن است را در نظر C′ ⊆ B3 \ { دایره ای شکسته { 0
است لذا C هم ترکیب با دایره کامل C′ ، 1-3- بگیرید . به کمک قضیه 6
B3 \ {0}= B3 \ ({0}∪C′)∪C′
~ B3 \ ({0}∪C′)∪C است C هم ترکیب با C′
= B3 \ ({0}∪C′)∪C′∪{ است { 0 C′ مبدأ نقطه شکستگی
= B3
برهانی مشابه ، به دست می دهد :
1-3-18 قضیه
R3 پارادوکسی است .
با دقت در برهان هایی که در این جا مشاهده کردیم متوجه می شویم هم ترکیب
بودن ابزار مناسبی است و ارزش مطالعه بیشتر را دارد . هم ترکیب بودن رابطه ای هم ارزی
است و لذا می توانیم رابطه دیگری بر روی رده های هم ارزی "~" تعریف کنیم :
A ≺ B↔ باشد B هم ترکیب با زیرمجموعه ای از A
این رابطه بنا به تعریف انعکاسی و متعدی است به علاوه به کمک تعمیم قضیه
شرودر-برنشتاین در نظریه مجموعه ها ثابت می شود این رابطه پادمتقارن است : اگر
در واقع باناخ توانست این قضیه را ( قضیه – A~B در این صورت B≺A , A≺B
شرودر – برنشتاین ) به رابطه های هم ارزی که در دو خاصیت زیر صدق م یکنند تعمیم
دهد :
چنان موجود است که برای هر g : A→ B آنگاه تناظر A≺B اگر (i)
C ~ g(C),C مانند A زیرمجموعه
آنگاه A2 ~ B2 , A1 ~ B و اگر 1 A1 ∩ A2 = B1 ∩ B2 =φ اگر (ii)
1 2 1 2 A ∪ A ~ B ∪ B
تعریف با توجه به " G ~ رابطه ، " ≻ " و " " G ~ " شرایط مذکور را برآورده می کند .
1-3-19 قضیه (قضیه باناخ – شرودر – برنشتاین )
هستند در X زیرمجموعه هایی از B و A عمل م یکند و X روی G فرض کنید
این صورت چنانچه B ≺ A A , ≺ B آنگاه B A G ~ .
برهان این قضیه شبیه به برهان قضیه شرودر – برنشتاین است و تنها اطلاعاتی که
است . (ii) و (i) در مورد "~" به کار می برد خواص
برای نشاندادن قدرت این قضیه ، اکنون به کمک آن نشان میدهیم که قطعات در
تجزیه پارادوکسی می توانند افرازی از مجموعه مورد نظر قلمداد شوند چرا که :
X زیر مجموعه ای از E عمل می کند و X روی G 1-3-20 قضیه فرض کنید
B و A پارادوکسی است اگر و فقط اگر مجموعه های مجزا -G ،E است در این صورت
. A ~ B ~ E, A∪ B = E چنان موجود باشند که
چنان B و A پارادوکسی باشد زیر مجموعه های مجزای -G ،E برهان می دانیم اگر
و A لذا آن چه باقی می ماند نشان دادن این مطلب است که A ~ B ~ E موجودند که
. A∪ B = E می توانند طوری انتخاب شوند که به علاوه B
نتیجه می گیریم E ~ A حال چون A≺E\B≺E از اینجا E ~ A ⊆ E \ B ⊆ E اما
و مجزا E هر دو آنها هم ترکیب با B′ = B, A′ = E \ B قرار دهید . E \ B ~ A
■ . است E هستند و اجتماع آن دو تمام
1 همچنین صورتی قوی تر از قضیه باناخ – تارسکی به دست می دهد : -3- قضیه 19
زیر مجموعه هایی B و A 1-3-21 قضیه (قضیه باناخ –تارسکی ، صورت قوی تر ) اگر
کراندار از 3
. A~B باشند که درون آنها غیر تهی است آنگاه
چرا که در این صورت به طور مشابه می توان نشان داد A≺B برهان نشان م یدهیم
. A~B 1 خواهیم داشت -3- و از این جا با توجه به قضیه 18 B≺ A
باشد در این صورت B مشمول در L,A شامل K را چنان اختیار کنید که L,K گوی های
است . داریم L کپی از n زیرمجموعه K به قدر کافی بزرگ n برای
A ⊆ K ⊆( L کپی از n ) ≺ L ⊆ B
است بنابراین L که ≻ ناشی از استفاده مکرر از قضیه باناخ-تارسکی برای مضاعف سازی
■ . A≺B

اصل انتخاب بداهتاً درست است . اصل خوش ترتیبی به وضوح نادرست است و چه
کسی قادر است در مورد لم زورن قضاوت کند؟
"Jerry Bona"
2-1 هم ارزهای اصل انتخاب
در حالی که در فصل اول سعی داشتیم به خواننده نشان دهیم که قبول اصل
انتخاب چه نتایج ناخوشایندی به دنبال دارد . در این فصل برآنیم تا به معرفی قضایای مهم
و کلیدی ریاضیات معاصر بپردازیم که اثبات آنها نیازمند اصل انتخاب است . برای برخی از
آنها راه دیگری جز استفاده از اصل انتخاب پیدا نکرده ایم و در مواردی معادل بودن آنها با
این اصل به اثبات رسیده است .
کار را با معرفی معادل هایی برای اصل انتخاب شروع م یکنیم . مشهورترین این
معادل ها به قرار زیر است :
اصل خوش ترتیبی (قضیه زرملو ) . هر مجموعه ای خوش ترتیب است .
یک خو شترتیبی است هرگاه هر زیرمجموعه S به یاد م یآوریم ترتیب ">" روی
دارای کوچکترین عضو باشد. S غیرتهی
در 1904 زرملو ، اصل انتخاب را صریحاً معرفی کرد و از آن برای اثبات قضیه
خوش ترتیبی استفاده کرد . در آن زمان ، بسیاری از ریاضیدانان در مقابل این قضیه موضع
گرفتند و مدعی شدند که باید جایی در برهان آن اشکالی باشد . در حقیقت قضیه زرملو ،
نمونه ای دیگر از قضایای غیر ساختنی در ریاضیات است . برهان این قضیه راه خو شترتیب
کردن مجموعه مفروض را نشان نم یدهد بلکه تنها اذعان م یدارد چنین ترتیبی وجود
دارد . این در حالی بود که علی رغم تلاش های فراوانی که انجام شده بود هنوز راهی برای
خوش ترتیب کردن اعداد حقیقی پیدا نشده بود . منتقدین این قضیه متوجه شدند که در
صورت قبول اصل انتخاب نم یتوانند اشتباهی در برهان زرملو بیابند . لذا انتقاد از قضیه
زرملو ، متوجه انتقاد از اصل انتخاب شد .
برای بیان اصل دوم نیازمند به چند تعریف هستیم .
نامیده می شود p یک زنجیر در (p,<) از مجموعه جزئاً مرتب C زیر مجموعه
نامیده می شود C یک کران بالا برای u . همراه">" به طور خطی مرتب باشد C هرگاه
را ماکزیمال نامیم هرگاه برای a∈ p . c ≤ u داشته باشیم C متعلق c هرگاه برای هر
نباشد . a < x ، p ی در x هر
مجموعه جزئاً مرتب غیرته یای (p,<) لم زورن ) فرض کنید )I اصل ماکزیمال
دارای عضو ماکزیمال است . P باشد که هر زنجیر در آن دارای کران بالاست در این صورت
دارای مشخصه متناهی است هرگاه F گردایه ای از مجموعه باشد گوییم F فرض کنید
F متعلق به S است اگر و فقط اگر هر زی رمجموعه متناهی F متعلق به S ، S برای هر
باشد .
گردای های ناتهی از مجموع هها باشد . F لم توکی) فرض کنید ) II اصل ماکزیمال
عنصری ماکسیمال دارد (ماکسیمال F دارای خاصیت مشخصه متناهی باشد آنگاه F اگر
تحت جزئیت ⊇)
استفاده از اصل انتخاب در آنالیز و جبر محصول فرعی مهمی به دنبال داشت :
اصلی که ظاهراً تیپی متفاوت از اصل انتخاب داشت اما معادل آن از آب در آمد . این اصل
که در بسیاری از شاخ ههای ریاضیات کاربرد دارد جایگزین مناسبی برای اصل انتخاب ،
اصل خوش ترتیبی و استقرای ترانسفینی است .
هاسدورف در 1909 ، اولین صورت صریح از یک اصل ماکسیمال ارائه داد و آن را
از اصل انتخاب نتیجه گرفت او در برهان خود روشی مشابه اولین برهان زرملو برای اثبات
قضیه خوش ترتیبی به کار برد . قضیه هاسدورف م یگوید : هر مجموعه جزئاً مرتب شامل
حداقل یک زیرمجموعه کلاً مرتب ماکسیمال است (ماکسیمال نسبت به جزئیت ) . پس از
آن ، اصول ماکزیمال دیگری نیز معرفی شد .
به چند Grundzuge der mengenleher در 1914 هاسدورف در کتاب خود
اصل ماکسیمال اشاره کرد .
در 1922 کرتوفسکی چند اصل ماکسیمال را معرفی و به عنوان جایگزینی برای
اعداد ترتیبی ترانسفینی استفاده کرد .
از 1926 تا 1928 اصول ماکسیمال دیگری توسط بوخنر و دیگر ریاضیدانان ارائه
شد.
در 1935 ماکس زورن ناآشنا بااصول ماکسیمال ، صورتی صریح از اصل انتخابی
ارائه داد که بعدها با عنوان لم زورن شناخته شد .
از 1939 تا 1940 تیشمولر ، بورباکی و توکی مستقلاً لم زورن را بر حسب
"خاصیت مشخصه متناهی " بیان کردند .
اینک به اثبات معادل بودن این سه گزاره با اصل انتخاب می پردازیم
2 گزاره های زیر معادل اند : -1- قضیه 1
اصل انتخاب (i)
اصل خوشترتیبی (ii)
I اصل ماکسیمال (iii)
II اصل ماکسیمال (iv)
یک مجموعه باشد یافتن یک خوشترتیبی برای S فرض کنید (i)⇒(ii) برهان
دنباله یک به یک -α ویک α به معنای یافتن عدد ترتیبی ،S
, ,......, ,...... (ζ <α ) ( 2-1) 0 1 ζ a a a
تابع انتخابی روی گردایه تمام F را بشمارد : فرض کنید S است که
2 ) را به کمک بازگشت ترانسفینی - باشد ما دنباله ( 1 S زیرمجموعه های غیرتهی
می سازیم :
( )
( { η ζ }) ζ η = <
= ′
\ :
0
a F S a
a F S
و به این ترتیب دنباله مورد نظر ما حاصل می شود .
مجموعه ای جزئاً مرتب غیرتهی باشد . همچنین (p,<) فرض کنید (ii)⇒(iii)
معرفی P دارای کران بالاست . عنصری ماکسیمال برای P فرض کنید هر زنجیردر
α خوش ترتیب است یعنی شمارشی به ازای عدد ترتیبی P ، می کنیم . بنا به فرض
ممکن می سازد P وجود دارد که نمایش زیر را برای
{ ,......, ,...} (ζ <α ) 0 ζ P = p p
به کمک بازگشت ترانسفینی قرار دهید
0 0 C = p
Cζ = Pγ و
کران بالایی برای زنجیر Pγ کوچکترین عددترتیبی است که γ که در آن
P ∉C C = {c η < y} γ η P همواره یک زنجیر در {cη :η < y} : , است . توجه کنید که
باشد . از آن جا که روند P عضو ماکسیمال در cγ − موجود است مگر 1 Pγ است و لذا
خواهیم رسید . P ساخت متوقف خواهد شد ما به یک عضو ماکسیمال در
گردایه ای ناتهی از زیرمجموعه ها باشد که دارای F فرض کنید (iii)⇒(iv)
زنجیری در باشد C همراه جزئیت ⊇، جزئاً مرتب است . اگر F . مشخصه متناهی است
متعلق A تعلق دارد و لذا F به A آنگاه هر زیرمجموعه متناهی A = ∪{X : X ∈C} و
است بنابراین به کمک لم زورن به C یک کران بالا برای A است و واضح است که F به
رسیدیم . F عنصری ماکسیمال برای
گردایه ای از مجموعه های ناتهی باشد . میخواهیم F فرض کنید (iv)⇒(i)
بیابیم گردایه F تابع انتخابی روی
ζ = {f: است ζ ⊆ F تابع انتخابی روی f }
دارای ζ را در نظر بگیرید . چون هر زیرمجموعه یک تابع انتخاب است لذا
است . بنا به ، F دارای عنصری ماکسیمال ζ مشخصه متناهی است . بنا به فرض
■ . است F ماکسیمال بودن این عنصر ، دامنه آن کل گردایه
در ادامه لیستی از معادلهای اصل انتخاب ، بدون برهان ارائه شده است . این
لیست کامل نیست و انتخاب ، بنا به سلیقه گردآورنده انجام شده است .
-1 در هر فضای برداری هر مجموعه مولد شامل یک پایه است .
-2 هر حلقه جابهجایی و یکدار شامل ایدهآلی ماکسیمال است .
موجود است که n عدد اصلی ، m -3 برای هر عدد اصلی
m < n,(∀p)(m < p→n ≤ p)
α به S و تناظری یک به یک از α عدد ترتیبی مانند ، S -4 برای هر مجموعه
موجود است .
. m2=m 2 نتیجه می شود m=m از ، m -5 برای هر عدد اصلی نامتناهی
بستگی دارد.) ،p زیرگروهی ماکسیمال دارد . (به عدد اول -p -6 هر گروه
دارد. ،X و چگال در T زیرفضایی 0 ، X -7 هر فضای توپولوژیک
زیرگردایهای ، T -8 هر گردایه از مجموعههای بسته در فضای توپولوژیک 2
ماکسیمال با خاصیت اشتراک متناهی دارد .
توپولوژی ، T از فضاهای توپولوژیک 1 {(Xi ,Ti ): i∈k} -9 برای هر گردایه
ای حاوی عنصری جعبه i k i o ∈
π
. oi ≠ Xi ,oi ≠φ , k متعلق به i است که در آن برای هر
-10 در یک حلقه جابهجایی ، هر ایدهآل محض قابل گسترش به یک ایدهآل
2 را نتیجه میدهد . ) ، ماکسیمال است . (دقت کنید 10
-11 قضیه تیخونوف . حاصلضرب فضاهای فشرده ، فشرده است .
2-2 کاربرد اصل انتخاب در ریاضیات
2 ) مشهورترین -1- معادل هایی که در قسمت قبل به آنها اشاره شد (قضیه 1
معادل های اصل انتخاب هستند که در اثبات قضایای ریاضی به کار م یروند . در این
بخش قضایای مهمی در ریاضیات را معرفی خواهیم کرد که برهان آنها نیازمند اصل
انتخاب است .
2-2-1 قضیه تیخونوف
گردایه ای از فضا های توپولوژیک باشد . فضای حاصلضربی {Si : i∈I} فرض کنید
S {S i I} i = × : ∈
همراه با توپولوژی حاصلضربی {Si : i∈I} به عنوان حاصلضرب کارترین گردایه
معرفی می شود .
قضیه تیخونوف حاصلضرب گردایه ای از فض اهای فشرده در توپولوژی حاصلضربی
تیخونوف ، فشرده است .
اثبات مشهوری از این قضیه به کمک مشخص سازی مجموعه های فشرده به کمک
فیلتر ها انجام می شود .
زی رمجموعه محض غیرتهی از گردایه تمام ، S روی مجموعه F فیلتر
است که : S زیرمجموعه های
(i) X ∈F , X ⊆Y →Y ∈F
(ii) X ∈F,Y ∈F→ X ∩Y ∈F
یک فیلتر ،ابرپالایه نامیده می شود هر گاه
S \ X ∈ F ا